Kolokwium Planowanie Eksperymentu

UWAGA 1. Plik z rozwiązaniem w postaci skompilowanego pliku html lub pdf należy przesłać przez Teams. Tytuł pliku powinien przyjąć formę imie_nazwisko.html. Wyniki obliczeń bogato skomentuj!

Zadanie 1

Z rozkładu normalnego \(N(15,4)\) wylosuj próbę o liczebności \(n = 25\), ustawiając jądro generatora na 2026. Przyjmij, że \(N(15, 4)\) oznacza rozkład normalny z parametrami \(\mu = 15\) oraz \(\sigma = 4\). Wyznacz 95% przedział ufności dla odchylenia standardowego \(\sigma\) korzystając ze wzoru:

\[ \sigma \in \left( \sqrt{\frac{(n - 1)S^2}{\chi_{1 - \alpha/2, n - 1}^2}}, \sqrt{\frac{(n - 1)S^2}{\chi_{\alpha/2, n - 1}^2}} \right) \]

gdzie \(S\) oznacza odchylenie standardowe próby, \(n\) liczebność próby a \(\chi^{2}\) to kwantyl rozkładu chi-kwadrat.

Sprawdź, czy wyznaczony przedział pokrywa prawdziwą wartość \(\sigma = 4\). Dodatkowo wylosuj 63 niezależne próby o liczebności \(n = 25\) w podobny sposób (ustawiając na początku jądro 2026), wyznacz (poprzez zbudowanie odpowiedniej funkcji) w ten sam sposób przedziały ufności i sprawdź ile z nich zawiera parametr \(\sigma = 4\).

Zadanie 2

Ze zbioru CO2 wylosuj po 24 obserwacji z każdej grupy zmiennej Treatment, używając jądra generatora 2026. Przyjmij, że losowanie odbywa się warstwowo bez zwracania, gdzie warstwą jest zmienna Treatment. Pamiętaj o ile jest potrzeba o wyznaczeniu poprawki na skończoną populację. Na podstawie próby zweryfikuj podane hipotezy:

\[ H_1^1: \text{średni pobór $CO_2$ różni się między roślinami chłodzonymi i niechłodzonym} \]

oraz

\[ H_1^2: \text{istnieje zależność między kategorią stężenia $CO_2$ a typem rośliny} \]

Przed weryfikacją drugiej hipotezy pogrupuj zmienną conc w kategorie za pomocą kwantyli: 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.

Wygeneruj boxploty:

• uptake vs Treatment,
• uptake vs Type.

Użyj poziomu istotności \(\alpha = 0.05\).